Конкурс научных работ 2018 года

Развитие теоретических основ светорассеяния:
объемное интегральное уравнение
и понятие случайной ориентации

Юркин М.А., Mishchenko M.I.,¹

¹NASA Goddard Institute for Space Studies, USA

1. Общая формулировка научной проблемы и ее актуальность.

Рассеяние света (электромагнитных волн) широко используется в различных областях науки и техники от нанотехнологии и биологии до исследований атмосферы и астрономии. Объемное интегральное уравнение (ОИУ) для электромагнитного поля является одним из универсальных методов описания задачи рассеяния в частотной области. Оно известно более 60 лет и является основой нескольких «численно точных» методов, например, метода дискретных диполей. Однако, открытыми остаются вопросы о применимости ОИУ к частицам с острыми краями и о точных условиях существования и единственности решения для поглощающей внешней среды. Также, намного менее изученным является использование ОИУ в случае, когда падающее поле генерируется близко расположенными источниками.

Случайная ориентация рассеивающего объекта является центральным понятием в теории рассеяния, так как реализуется во многих экспериментах, например, в разреженной системе из большого количества случайно двигающихся частиц. За последние 70 лет данное понятие было детально проанализировано, включая техническое определение, использование его в вычислениях и свойства симметрии применительно к измеряемым величинам рассеяния. Тем более удивительно, что в многочисленной литературе по светорассеянию напрочь отсутствует строгое математическое определение случайной ориентации, что потенциально может приводить к путанице и неправильным выводам.

2. Конкретная решаемая в работе задача и ее значение.

а) Строго вывести ОИУ для произвольной системы немагнитных многослойных частиц с кусочно-гладкими (пересекающимися) границами в пассивной внешней среде. Предложить общее достаточное условие для существования и единственности решения такого ОИУ.
б) Детально исследовать ОИУ при нахождении источников падающего поля вблизи объекта, включая свойства обратимости и предельный переход при удалении источников.
в) Сформулировать строгое математическое определение случайной ориентации частицы через теорию групп и вывести все другие свойства из этого определения.

3. Используемый подход, его новизна и оригинальность.

В данной работе мы рассматривали только немагнитные объекты, что соответствует одному ОИУ на электрическое поле. Для строгости изложения, мы подробно описали сильную сингулярность ядра интегрального оператора и явно изолировали ее. Аналогично, мы изолировали особенности поверхностей раздела сред (ребра, вершины, внутренние пересечения), что позволило нам использовать стандартный аппарат векторного исчисления для гладких функций. При этом ключевым дополнительным условием (помимо дифференциальных уравнений Максвелла и граничных условий) является локальная конечность энергии электромагнитного поля, что недостаточно подробно описано в имеющейся литературе. Указанный математический аппарат также позволил провести обратный вывод дифференциальных уравнений и граничных условий из ОИУ, доказав полную эквивалентность этих двух подходов.

При обсуждении условия существования и единственности решения ОИУ, мы провели подробный анализ литературы, в том числе с точки зрения спектра интегрального оператора. Именно это привело к обобщающей гипотезе о достаточном условии для поглощающей внешней среды. Также мы сформулировали принципиально новую гипотезу о непрерывности решения ОИУ относительно функции распределения показателя преломления (которая, в частности, задает форму объекта). Выполнение данной гипотезы позволяет значительно упростить вывод ОИУ и обобщить задачу рассеяния на сколь угодно сложные объекты.

При наличии источников основная новизна нашего подхода состоит в использовании операторного исчисления. Часть из рассматриваемых операторов является псевдо-сопряженными (аналог симметричной комплексной матрицы), из чего напрямую следует обратимость задачи рассеяния в самом общем случае (соответствует замене местами источника и детектора). В пределе бесконечного далекого источника определение операторов усложняется, но общие соотношения обратимости остаются.

Для строгого определения случайной ориентации использовалось понятие меры Хаара – регулярной меры группы, инвариантной относительно умножения на фиксированный элемент этой группы. Мера Хаара для группы вращений впервые обсуждалась в 1958 г. в советской математической литературе, но никогда не упоминалась в работах по светорассеянию.

4. Полученные результаты и их значимость.

Мы доказали эквивалентность интегрального и дифференциального описания задачи электромагнитного рассеяния для очень широкого класса объектов в пассивной внешней среде, а также предположили общее достаточное условие для существования и единственности решения [1]. Также, мы предположили непрерывность обратного интегрального оператора при изменении функции показателя преломления, что открывает принципиально новый подход к строгому исследованию ОИУ. В случае близких источников, мы показали, что операторное исчисление позволяет свести свойство обратимости рассеяния к псевдо-сопряженности соответствующих операторов [2]. И впервые обобщили это операторное представление на дальние источники, что соответствует произвольному падающему пучку (плоская волна, пучки Гаусса, Бесселя и т.п.) [3]. Все вместе, работы [1–3] представляют собой подробный обзор ОИУ для любого падающего поля и рассеивающего объекта. Единственным нерассмотренным вопросом остался баланс энергии, связанный с определением сечений рассеяния, в присутствии источников – работа по этой теме еще не опубликована.

Приведенное строгое определение случайной ориентации позволяет строго вывести плотность вероятности для параметризации через углы Эйлера и свойства симметрии матриц рассеяния и экстинкции для соответствующей системы частиц [4]. Это является недостающим кирпичом в основании большого пласта литературы по светорассеянию, помогая избавится от «очевидных» постулатов.

5. Уровень полученных результатов в сравнении с мировым.

Представленные результаты задают мировой уровень в теоретическом описании рассеяния электромагнитных волн. Результаты докладывались Юркиным М.А. на четырех иностранных конференциях, а также в университетах США и Китая. Статья [4] заняла свою нишу и за полтора года с момента публикации была процитирована 12 раз.

6. Вклад авторского коллектива.

Вся работа выполнена в тесном сотрудничестве с иностранным коллегой, при этом Юркин М.А. внес определяющий вклад во все результаты, представленные выше. Более того, в статьях [1,3] Юркин М.А. полностью подготовил первый черновик, который далее не претерпел серьезных изменений, и являлся автором для корреспонденции.

Список публикаций.

1. Yurkin MA, Mishchenko MI., Volume integral equation for electromagnetic scattering: Rigorous derivation and analysis for a set of multilayered particles with piecewise-smooth boundaries in a passive host medium // Phys Rev A 2018;97:043824. (IF = 2.909)
2. Mishchenko MI, Yurkin MA., Impressed sources and fields in the volume-integral-equation formulation of electromagnetic scattering by a finite object: A tutorial. // J Quant Spectrosc Radiat Transfer 2018;214:158–67. (IF = 2.600)
3. Yurkin MA, Mishchenko MI., Addendum to “Impressed sources and fields in the volume-integral-equation formulation of electromagnetic scattering by a finite object: A tutorial” [J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 214 (2018) 158–167] // J Quant Spectrosc Radiat Transfer 2018;219:105–7. (IF = 2.600)
4. Mishchenko MI, Yurkin MA., On the concept of random orientation in far-field electromagnetic scattering by nonspherical particles // Opt Lett 2017;42:494–7. (IF = 3.589)